虚幻与真实

Saunders Mac Lane（ 1909-2005 ）是美国数学家，与 Samuel Eilenberg 共同建立了范畴论。 Mac Lane 在他的自传中有一段与罗素相遇的轶事： " 我在哈佛工作的早期，与伯特兰 - 罗素有过一次相遇。当时，他正在访问美国哈佛大学的一个社会科学系。数学座谈会邀请他做一个关于数学基础的演讲，来的听众非常多，以至于座谈会不得不从普通的房间搬到一个更大的房间。 罗素接着做了一个热情洋溢的演讲，大致上描述了 1920 年期间 数理逻辑的状况， 在他的演讲结束时，主席要求提问。我对他没有涉及任何最近的成果感到有点失望，于是我问罗素，他是如何将这一切与希尔伯特最近关于一阶逻辑的工作以及 哥德尔不完备性定理的惊人成果联系起来的，他沉默了很久。最后，主席说：  “ 也许还有人问问题 ” ，幸运的是，有人提问了。 自此我再也没有见过罗素。作为耶鲁大学的本科生，《数学原理》对我影响至深，罗素是我的英雄。到了 1938 年，我意识到，关于逻辑的新想法甚至更令人印象深刻。现在回想起来，我对自己的问题感到内疚，应该知道罗素是无法回答的。在这样做的时候，我太急躁了，没有意识到他已经适当地决定将他早期的兴趣从逻辑学转移到其他学科，没有跟上当前的逻辑学成果，因为他一直忙于其他事情。然而，《 数学 原理》中精彩的背景发展使哥德尔定理成为可能，这是一个事实。 " 对于 “ 罗素的沉默 ” ，人们有各种猜测，如上述 Mac Lane 的解读。 然而，从 Alasdair Urquhart 梳理 “ 罗素回应哥德尔定理（ Russell’s response to Godel’s theorem ） ” 【 1 】【2】中，我们可以看到罗素一直在关注 哥德尔定理， 在不同的阶段始终如一地坦率表达自己的困惑和疑问：将哥德尔定理描述为一个 “ 悖论 ” （ 1945 年）， “ 难题 ” （ 1950 年）， “ 困难 ” （ 1965 年）等等。 我更愿意以另外一种眼光看 “ 罗素的沉默 ” ：面对“圣坛”上的哥德尔定理，罗素宁愿在满堂听众面前倔强地保持沉默，让自己陷入尴尬的境地，也不愿说违心的话，。。。 参考文献： 【 1 】 Alasdair Urquhart, Russell and Gödel.  https://www.academ...

Alasdair Urquhart 的文章 “ 罗素与哥德尔 ”的 第三章 “ 罗素回应哥德尔定理（ Russell’s response to Godel’s theorem） ” 【 1】 （p.10-14） 对深入了解罗素关于哥德尔定理的看法很有帮助！ 从文章中可以看出 ，罗素回应哥德尔定理的态度一直是很谨慎的，罗素从来没有对哥德尔定理作简单的对或错的判断，而是坦率表达自己的困惑和疑问：在 1945 年的一篇文章中，罗素将哥德尔定理描述为一个 “ 悖论 ” （ paradox ）；在 1950 年的一篇文章中，罗素将哥德尔定理描述为一个 “ 难题 ” （ puzzles ）；在 1963 年给莱昂 - 亨金的信中，罗素表达自己对哥德尔定理的困惑（ puzzled ）；在 1965 年的评论中，罗素说哥德尔提出了一个新的困难（ difficulty ），。。。罗素的态度始终是一致的。 1965 年罗素应 Schilpp 的邀请，写下如下对哥德尔工作的评论： Not long after the appearance of Principia Mathematica, G¨odel propounded a new di ffi culty. He proved that, in any systematic logical language, there are propositions which can be stated, but cannot be either proved or disproved. This has been taken by many (not, I think, by G¨odel) as a fatal objection to mathematical logic in the form which I and others had given to it. I have never been able to adopt this view. It is maintained by those who hold this view that no systematic logical theory can be true of everything. Oddly enough, they never apply this opi...

美国最大出版社诺顿公司在介绍 2021 年出版的哥德尔传记 “ 理性的边缘之旅 - 库尔特 - 哥德尔的一生 ” （ Stephen Budiansky ）时说  [1]  ： 这是第一本为普通读者撰写的关于这位逻辑学家和数学家的重要传记，他的不完备性定理帮助发起了一场现代科学革命。库尔特 - 哥德尔（ Kurt Gödel ）的著名证明，即每个数学系统都必须包含 “ 为真但不可证明的命题 ”—— 在发表后的近一百年里，继续令数学、哲学和计算机科学感到不安。 此说并不夸张，那么哥德尔不完备性定理中到底有什么令人至今不安？如果我们仔细观察，就会发现这种不安并不是 因为哥德尔给出的 形式系统不完备性的 结论，也不是因为 哥德尔在证明中运用了 “ 说谎者悖论 ”，而是 哥德尔 将”自己说自己是不可证明的“ 说谎者悖论 命题当作 形式系统中正常的 “ 不可判定命题 ”了，由此 得出 形式系统中存在如 说谎者悖论 的命题是常态 ！ [2]  哥德尔的证明自发表以来一直受到挑战， 道森（ John W. Dawson Jr. ） 在文章 “ 哥德尔不完备性定理的接受情况（ The reception of Gödel's Incompleteness Theorems）” 中对此进行了梳理  [3]  （ p.74-95 ）： 策梅洛（Ernst Zermelo） 在 1931 年写给哥德尔的信中说，哥德尔对不可判定命题存在性的证明存在一个 “essential gap” ； 逻辑学家佩雷曼（ Chaïm Perelman） 断言，哥德尔发现的实际上是一个二律背反（Antinomy）； 维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）对哥德尔的证明发表了备受争议的评论（ Remarks on the Foundations of Mathematics ， 1938) ； 罗素（Bertrand Russell）在给 亨金（Leon Henkin）的信中表达了他的深刻困惑：我当然意识到哥德尔的工作具有根本的重要性，但我对它感到困惑。 [……] 如果一个给定的公理集导致矛盾，很明显，至少有一个公理必须是错误的。 。。。 还有 埃尔布朗（ Jacques Herbrand）在 1931 年写给哥德尔的信中指出  [4]...